Задачи на движение по воде
Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки
Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки
Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.
Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.
Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) |
| По течению | $(x+4)$ | |
| Против течения | $(x-4)$ |
Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) |
| По течению | $120$ | $(x+4)$ |
| Против течения | $120$ | $(x-4)$ |
Третий столбец заполняем по формуле $t=/
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| По течению | $120$ | $(x+4)$ | $<120>/<(х+4)>$ |
| Против течения | $120$ | $(x-4)$ | $<120>/<(х-4)>$ |
Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.
Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.
Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:
Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)
Найдем корни числителя.
Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Разделим обе части уравнения на $(-4)$
Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч
От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.
Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.
Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t=/
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| Первый теплоход | $70$ | $x$ | $<70>/<х>$ |
| Второй теплоход | $70$ | $(x+8)$ | $<70>/<(х+8)>$ |
Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен
Приводим дроби к общему знаменателю
Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)
Найдем корни числителя
По т.Виета $х_1+х_2=-8$
$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.
Источник
Решение задач по воде егэ
Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть 
км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 1 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч, 
На обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 1 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 63 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 1 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 135 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Источник
Решение задач по воде егэ
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна 
км/ч, а скорость теплохода против течения равна 
км/ч, 
На весь путь теплоход затратил 54 − 8 = 46 часов, отсюда имеем:
Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде равна 23 км/ч.
Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч. Пусть км/ч — скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна км/ч, а скорость яхты против течения равна км/ч. Яхта, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A, а плоту понадобилось на час больше времени, чтобы пройти 40 км. Имеем:
Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде была равна 24 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна 
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а скорость теплохода против течения равна км/ч. На весь путь теплоход затратил 34 − 2 = 32 часов, отсюда имеем:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 391 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна 
км/ч, а скорость теплохода против течения равна 
км/ч. На весь путь теплоход затратил 46 − 6 = 40 часов, отсюда имеем:
Корни квадратного уравнения 
можно найти по теореме, обратной теореме Виета. Действительно, 
а 
Поэтому корни уравнения суть числа 
и 
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 399 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна 
км/ч, а скорость теплохода против течения равна 
км/ч. На весь путь теплоход затратил 42 – 2 = 40 часов, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 1 км/ч.
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 40 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 21:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна 
км/ч, а скорость баржи против течения равна 
км/ч. Баржа вернулась в пункт A через 11 часов, но пробыла в пункте B 
час 40 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:
Поэтому скорость течения реки равна 2 км/ч.
Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость катера по течению равна км/ч, а скорость катера против течения равна км/ч. Катер вернулся в пункт 
через 8 часов, но пробыл в пункте 
2 часа 30 минут, поэтому общее время движения катера дается уравнением:
Поэтому скорость течения реки равна 1 км/ч.
Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна км/ч, а скорость баржи против течения равна км/ч. Баржа вернулась в пункт A через 8 часов, но пробыла в пункте B 
час 40 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна 
км/ч, а скорость теплохода против течения равна 
км/ч. На весь путь теплоход затратил 40 – 10 = 30 часов, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а скорость теплохода против течения равна км/ч. На весь путь теплоход затратил 34 – 2 = 32 часов, отсюда имеем:
Корни квадратного уравнения 
можно найти по теореме, обратной теореме Виета. Действительно, 
при этом 
Поэтому корни уравнения суть числа 
и 
Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт 
расположенный в 15 км от 
Пробыв в пункте 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в 16:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 
км/ч.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна км/ч, а скорость баржи против течения равна км/ч. Баржа вернулась в пункт через 6 часов, но пробыла в пункте час 20 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:
Поэтому скорость течения реки равна 2 км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна 
км/ч, а скорость теплохода против течения равна 
км/ч, 
На весь путь теплоход затратил 39 – 7 = 32 часа, отсюда имеем:
Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Пусть весь путь теплохода равен 
км. Время в пути составляет 30 часов, из которых 5 часов – стоянка:
Тем самым, весь пути теплохода составляет 2 · 308 = 616 км.
извините, а откуда взялось 50S?
Приведите к общему знаменателю дроби.
Расстояние между пристанями и равно 120 км. Из в по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт тотчас повернула обратно и возвратилась в К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в 
Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому составляет 2 км/ч. Пусть км/ч – скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна 
км/ч, а скорость яхты против течения равна 
км/ч, причем 
Яхта, прибыв в пункт тотчас повернула обратно и возвратилась в 
а плоту, чтобы пройти те же 24 км, понадобилось на час больше времени. Составим и решим уравнение:
Вычисления можно было бы упростить, используя формулу для четного коэффициента при х:
где корень можно вычислить так:
Чтобы догадаться, что число 3721 является квадратом 61 можно либо заметить, что и проверить ближайшее целое число, заканчивающееся на 1, либо представить число 3721 в виде полного квадрата суммы:
Источник
